期初年金现值

是一个在金融数学中非常重要的概念，它涉及到如何计算一系列在每年初支付的等额款项在现在的价值。这种计算对于理解贷款、投资、退休金计划等方面非常有帮助。

基本概念

- 年金：一系列定期（如每年、每月等）支付的固定金额。
- 期初年金：年金中的每一笔支付都发生在每个时间段的开始，而不是结束。
- 现值：未来一系列支付在当前时间的价值，考虑了货币的时间价值（即利息）。

计算公式

对于，其计算公式为：

$$ PV = C \times \left[ \frac{(1 - (1 + r)^{-n})}{r} \right] \times (1 + r) $$

其中：
- $ PV $ 是。
- $ C $ 是每期支付的金额（年金金额）。
- $ r $ 是每期的利率。
- $ n $ 是总期数。

解释

1. 括号内部分：$\frac{(1 - (1 + r)^{-n})}{r}$ 是普通年金（即期末年金）的现值因子。
2. 乘以 $ (1 + r) $：由于这是期初年金，每笔支付都发生在年初，所以需要将整个年金现值因子乘以 $ (1 + r) $ 以调整时间价值。

示例

假设每年初存入银行1000元，年利率为5%（即 $ r = 0.05 $），持续5年（即 $ n = 5 $）。

$$ PV = 1000 \times \left[ \frac{(1 - (1 + 0.05)^{-5})}{0.05} \right] \times (1 + 0.05) $$

$$ PV = 1000 \times \left[ \frac{(1 - 0.7835)}{0.05} \right] \times 1.05 $$

$$ PV = 1000 \times \left[ \frac{0.2165}{0.05} \right] \times 1.05 $$

$$ PV = 1000 \times 4.33 \times 1.05 $$

$$ PV \approx 4546.50 $$

因此，这五年每年初存入的1000元，在年利率为5%的情况下，其现值约为4546.50元。